问题背景
汉诺塔问题作为经典的递归算法案例，要求将N个圆盘从源柱完整移动到目标柱，且每次只能移动一个圆盘，大盘不可压小盘。其最小移动次数始终遵循2ⁿ−1的数学规律。
递归分析
递归解法的核心逻辑分为三步：
- 将N-1个盘移动到过渡柱
- 移动最底层盘到目标柱
- 将N-1个盘从过渡柱移回目标柱
由此可得递推公式：T(n) = 2T(n-1) + 1
数学归纳法证明
当n=1时，T(1)=1符合公式。假设n=k时成立，则n=k+1时：
T(k+1) = 2*(2ᵏ−1) + 1 = 2ᵏ⁺¹−1，由此得证。
模式观察
通过不同盘数的实验可发现规律：
- 1盘：1次
- 2盘：3次
- 3盘：7次
- 4盘：15次
最优路径验证
任何非递归解法都会导致冗余操作，通过状态树分析可知，每个盘需要移动2ⁿ⁻¹次，总次数为Σ2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ−1。
汉诺塔问题的指数级增长特性来源于其递归结构中的重复操作，每一步移动都必然触发子问题的双重计算，这种自相似性最终导致移动次数呈现2ⁿ−1的精确数学规律。
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