问题描述
假设某话费充值系统提供多种面值的充值卡（如10元、20元、50元），用户需要充值特定金额时，如何选择充值卡组合使充值次数最少？该问题可抽象为：给定正整数目标金额N和面值集合S，求覆盖N的最少硬币数量。
贪心算法原理
贪心算法通过每一步选择当前最优解，最终得到全局近似最优解。本问题中，每次选取不超过剩余金额的最大面值充值卡，直到总额满足需求。
适用条件：
- 面值集合需包含1元单位
- 面值设计需满足贪心选择性质
算法步骤详解
- 将面值按降序排列
- 初始化剩余金额remaining = N
- 遍历面值集合：
- 若当前面值 ≤ remaining，则计算可使用的最大数量
- 更新remaining并记录使用次数
- 重复直至remaining归零
案例说明
| 步骤 | 选择面值 | 使用数量 | 剩余金额 |
|---|---|---|---|
| 1 | 50 | 1 | 30 |
| 2 | 20 | 1 | 10 |
| 3 | 10 | 1 | 0 |
优化与分析
当面值不满足贪心条件时（如含30元面值），需改用动态规划。时间复杂度方面，若面值数量为k，贪心算法仅需O(k)时间，显著优于动态规划的O(Nk)。
贪心算法在满足面值条件时，能高效求解最少充值次数问题。实际应用中需验证面值系统的兼容性，对于特殊面值组合需结合其他算法进行优化。
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